La idea de agrupar objetos de la misma naturaleza para
clasificarlos en “colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los
seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el
conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negocio de
venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos
estos ejemplos, se utiliza la palabraconjunto como
una colección de objetos.
El concepto de Conjunto, entonces, está
referido a reunir o agrupar personas, animales, plantas o cosas, para estudiar
o analizar las relaciones que se pueden dar con dichos grupos.
Diagrama de Venn y entre llaves.
Es habitual representar los conjuntos en forma
gráfica mediante los Diagramas de Venn.
En estos diagramas el conjunto se
representa mediante una superficie limitada por una línea. En su
interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada
se nombra con una letra mayúscula.
El conjunto B está formado por los
elementos a, b, c, d.
Existe, además, otra forma de representarlos que es entre
llaves.
En estos ejemplos se escribe:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c, d}
Definición matemática de
Conjunto
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Por Extensión y por Comprensión
Un conjunto queda perfectamente definido si se
conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es
decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o
propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo
represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define.
Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.
Existen dos maneras de definir un conjunto dado:
a) Por extensión o enumeración: se
define nombrando a cada elemento del conjunto.
b) Por comprensión: se
define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca
una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en
particular).
Por comprensión
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Por extensión
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A = {Números dígitos}
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A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
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B = {Números pares]
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B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
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C = {Múltiplos de 5}
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C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}
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Tipos de Conjuntos
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Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto
1) Conjuntos
disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.
Por
ejemplo:
El conjunto A tiene como elementos a los
números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los
conjuntos A y B. En otras
palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez,
ningún elemento de B pertenece al conjunto A.
En consecuencia, los conjuntos A y B son
disjuntos.
Tomando otro ejemplo:
Si E = { pizarrón, tiza, borrador}
(Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador)
F = { tiza, profesor,
regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)
G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto
G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz)
E y G son conjuntos
disjuntos porque: pizarrón, tiza,
borrador no pertenecen al conjunto G.
E y F no son disjuntos ya que tiza
pertenece a E y también a F.
F y G son conjuntos
disjuntos porque: tiza, profesor,
regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F.
2) Conjunto
Subconjunto: Un conjunto es
subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al
otro.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
P = { a, e, i, o, u
}
y
R = { a, i }
R es subconjunto de P porque todos los
elementos de R están en P.
En general, para expresar que un conjunto es
subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo C.
En este ejemplo se escribe:
R C P
Se lee “ R es subconjunto de P”
no es subconjunto de otro cuando al menos un
elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que
representa la frase “no es subconjunto de“ es C.
Si se tienen los siguientes conjuntos:
C = { 3, 5, 7, 9
}
y
H
= { 3, 5, 8 }
H no es subconjunto de C porque el elemento
8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:
H C C
Se lee “ H no es subconjunto de C”
También los subconjuntos pueden representarse
mediante Diagramas de Venn.
Propiedades de la relación subconjunto
1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Si T = { x, z, y,
z }, se tiene que T C T
2.- El conjunto
vacío es subconjunto de cualquier
conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por:
{ } o bien por Ø
Si se tiene el conjunto B se puede establecer
que Ø C T
Relaciones entre Conjuntos
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Sean los conjuntos
A = { 5, 7 }
B = { 3, 5, 7, 9 }
Los elementos 5 y 7 forman parte del conjunto
A.
En otras palabras, los elementos 5 y 7 pertenecen (E ) al conjunto A.
5 E A y
7 E A
Los elementos 3, 5, 7, 9 forman parte del conjunto
B, es decir, pertenecen al conjunto B
3 E B
5 E B 7 E B
9 E B
Se puede observar, además, en el diagrama, que los
elementos del conjunto A están incluidos dentro del conjunto B; por lo tanto,
dichos elementos también pertenecen al conjunto B.
En otras palabras, A es subconjunto de B.
A E B
Operaciones entre conjuntos
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Intersección de conjuntos (Π)
La intersección entre dos o más conjuntos es otro
conjunto formado por los elementos comunes a ellos; es decir, a
los elementos comunes o repetidos de ambos conjuntos A y B.
La intersección se simboliza con el signo Π y se coloca entre las letras que representan
a cada conjunto.
Conjunto A = {3, 8, 24}
Conjunto B = {13, 7, 8, 12}
Los elementos que se repiten entre A y B son: 3 y
8. Estos elementos se anotan en la parte de color amarillo pues representa el lugar
común entre ambos conjuntos.
Otro
ejemplo:
B = { a, b, c, d, e, f }
C = { a, d, f, g, h }
B Π C
= { a, d, f }
En el diagrama de Venn la parte ennegrecida
representa la intersección de B y C.
Unión de conjuntos: La
unión de dos o más conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que
pertenecen a uno u otro conjunto o a ambos.
La unión se representa por el símbolo U Si un elemento está repetido, se coloca una sola vez.
A U B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.Cuando no hay elementos comunes o repetidos (esquema 1) se anotan todos los elementos en un solo conjunto (una sola figura cerrada):
Si hay elementos repetidos, éstos
se anotan en la zona común a ambos conjuntos (esquema 2), donde se
juntan ambas figuras cerradas:
W U Z = {9, 6, 8, 5, 7}.
Cardinalidad de un conjunto
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La cardinalidad de un conjunto se
representa con el símbolo # y
corresponde al número de elementos que tiene el conjunto.
Conjuntos equivalentes
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Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es
decir, igual número de elementos.
T =
|
{
 , 
, 
} |
# T = 3
|
P =
|
{ a, b, c }
|
# P = 3
|
Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen
la misma cardinalidad.
Conjuntos iguales
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Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un
conjunto también pertenecen al mismo conjunto.
Ejemplo:
D F
D = F
Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el
mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son más
de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en
que estén los elementos.
Conjunto Universo (U)
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En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede
observar que el conjunto U contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto
universo porque es un conjunto que contiene a todos los conjuntos.
Otro ejemplo:
Sea Y = { enero, febrero
} ; Ñ = { marzo, junio, agosto }
El conjunto universo
será:
U = { meses del año }
Par ordenado
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Cuando hablamos de par ordenado, nos estamos
refiriendo a dos números, o figuras, encerrados en un
paréntesis.
Su representación general es:
( a , b )
Respecto a esto, podemos preguntarnos ¿cómo
se obtiene un par ordenado?, ¿para qué sirve un par ordenado?
Un par ordenado se puede obtener
desarrollando una función o
realizando la operación llamada producto
cartesiano.
Como consecuencia, un par ordenado sirve para
representar un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, un punto en un plano cartesiano o bien una razón o una
función.
Producto cartesiano:
Cada par ordenado es una combinación entre
elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al
primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque su representación no es conmutativa, es decir, no se puede
alterar el orden.
Observa en el recuadro
los conjuntos A y B y las combinaciones que se pueden hacer entre los elementos
de ambos conjuntos:
Estas combinaciones se
pueden representar mediante pares ordenados, tal como se indican en la
siguiente tabla.
Plano cartesiano:
Todo par ordenado escrito con números
representa un punto del plano, donde la primera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje
x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje
y).
Los pares ordenados (3, 4) y (5,
2) están representados en el siguiente plano cartesiano (gráfico):
Abscisa : X
Ordenada . Y
Razón
Es una comparación entre dos cantidades.
Ejemplo: En un curso hay 12 mujeres y 20
hombres. Al representar estas cantidades en un par ordenado, éste
es:
( 12 , 20 )
( 12 , 20 )
Función
Puedes escribir las entradas y salidas de una
función como "pares ordenados", como (4,16).
Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:
Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función
que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5"
y "7 se relaciona con 3".
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