M.P. Rafael Galdamez

Esta enfocado en la solución de diferentes problemas que se nos puedan presentar en cualquier ámbito de nuestra vida, estos son los 4 pasos importantes para llevar acabo la solución:
Entender el problema.
Configurar un plan.
Ejecutar el plan.
Mirar hacia atrás
Al llevar a cabo este procedimiento de una forma ordenada y realizar cada uno de los pasos con la mayor información necesaria nos facilitara y llegaremos a una respuesta.

L.P. Rafael Galdamez

Este tema tiene como propósito a lograr  que como estudiantes aprendamos a razonar; tal propósito no se lograría, si es que no pasa del mundo de las ponencias empíricas al mundo del pensamiento formal; teniendo en cuenta un pensamiento ordenado, genuino y coherente no puede surgir sin la base de un método crítico correcto. En esto consiste, la comprensión lógica la cual se hace indispensable; entonces al tratar de la lógica proposicional nos estamos enfocando al estudio de variables proposicionales y las posibles implicaciones, considerando su valor de verdad.


Proposición: oración afirmativa que solo puede ser verdadera o falsa.

Las oraciones interrogativas y exclamativas no son proposiciones, ya que no se puede definir su valor de verdad.


Valor de verdad: la cualidad de una proposición de ser verdadera o falsa; estos valores de verdad se organizan dentro de una tabla de verdad.


Variables: en el lenguaje simbólico de la lógica de proposiciones, a los enunciados simples, atómicos o elementales son los que no pueden descomponerse en otros más simples. Se les llama variables, y se escriben con las letras minúsculas del final del abecedario: “p”, “q”, “r”, “s”


Tipos de Proposiciones

Proposición Simple: tiene solo una proposición.Proposición Compuesta: tiene dos o más proposiciones simples unidas por un conectivo lógico.

Conectivo Lógico

Conjunción (Y) se representa con el símbolo/\. En su tabla de verdad solo las dos proposiciones son verdaderas, deducimos la conjunción es verdadera. Disyunción (o) se representa con el símbolo \/. Su tabla de verdad es falsa solo si las dos proposiciones son falsas.Implicación (si, entonces) se representa con el símbolo --->. En su tabla de verdad solo si la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa, la implicación es falsa.Doble implicación (Sí y solo sí)se representa con el símbolo <===>. En su tabla de verdad solo si las dos proposiciones son verdaderas o falsas la doble implicación es verdadera.Negación (no, nunca, jamás) se representa con el símbolo ¬. Esta es la negación de cualquier proposición, en su tabla de verdad lo que es verdadero pasa a ser falso y lo falso pasa a ser verdadero.

Al agruparse las variables proposicionales, mediante los conectivos lógicos que forman este lenguaje encontramos las proposiciones que pueden llegar a ser, como lo son:


Tautología: a la validez de aquella formula que siempre es verdadera.


Contradicción: proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad.


: se trata de aquella formula que es falsa o verdadera.

T.D.C. Rafael Galdamez

 Que es un conjunto: Es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto" Ejemplos:

a) El conjunto formado por los primeros veinte números naturales.
b) El conjunto formado por docentes de una Institución Educativa.
c) El conjunto formado por los actuales presidentes regionales del Perú.
d) El conjunto formado por las computadoras de una cabina de Internet.


Sin embargo, el concepto que tenemos es un "concepto intuitivo", el cual pues no es correcto pues también existe conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos formados sin elementos lo cual contradice.

Determinación de conjuntos

1. Por Extensión
Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos)


Ejemplos:
D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,domingo}

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………}

Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado.

Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo.

Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.


2. Por Comprensión
Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D.

Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos:


Ejemplo 1

Por extensión:
D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Por comprensión: (una posible respuesta sería)

D = {x/"x" es un día de la semana}


"El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana".

Otra posible respuesta sería:

"D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana"

AD Rafael Galdamez

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.

Fines del análisis dimensional

1.        El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.

2.        Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.

3.        Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Magnitudes y unidades

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.

Llamamos  a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.

Clasificación de las magnitudes

Por su origen

Por su naturaleza

a.        Fundamentales.

b.        Derivadas.

a.        Escalares.

b.        Vectoriales.

Magnitudes fundamentales:

Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

Magnitud

Símbolo

Unidad Básica (Símbolo)

Longitud.

L

Metro (m)

Masa.

M

Kilogramo (kg)

Tiempo.

T

Segundo (s)

Intensidad de corriente eléctrica.

I

Ampere o Amperio (A)

Intensidad Luminosa.

J

Candela (cd)

Temperatura Termodinámica.

q

Kelvin (K)

Cantidad de Sustancia.

N

Mol (mol)


MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS

Nombre

Unidad Básica (Símbolo)

Ángulo Plano.

Radian (rad).

Ángulo Sólido.

Estereorradián.

Magnitudes derivadas:

En número es el grupo más grande () en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.

Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía.

A.D. jorge chavez

análisis dimensional

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

• Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio
• Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

T.D.C. jorge chavez

teoría de conjuntos

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

L.P. jorge chavez

lógica proposicional

La Lógica proposicional es aquella parte de la lógica que se ocupa de los razonamientos tomando las proposiciones que los componen como un todo, sin analizarlas, sin entrar en sus relaciones internas.

Existen diferentes conectivos:

NEGADOR=  ¬ cambiar el valor de la expresión.

CONJUNCIÓN=  Λ las 2 proposiciones se cumplen, se pueden unir.

DISYUNCIÓN=  V separar las oraciones.

IMPLICACIÓN=  → aplicara el entonces.

DOBLE IMPLICACIÓN=  ↔ se cumplen cuando las 2 son ciertas.

M.P. jorge chavez

método polya

Este método esta enfocado en la solución de diferentes problemas que se nos puedan presentar en cualquier ámbito de nuestra vida, requiere de cuatro pasos: Entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan, mirar hacia atrás, al llevar a cabo este procedimiento de una forma ordenada y realizar cada uno de los pasos con la mayor información necesaria nos facilitara y llegaremos a una respuesta.

AD GILBERTO DE LEON

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham(más conocido por teorema π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

·                     Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio

·                     Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.

TDC GILBERTO DE LEON

Teoría de Conjuntos

NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
 

Ejemplos de conjuntos:
 

• Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
• N: el conjunto de los números naturales.
• Z: el conjunto de los números enteros.
• Q : el conjunto de los números racionales.
• R: el conjunto de los números reales.
• C: el conjunto de los números complejos.

 
Se puede definir un conjunto:

• por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
• por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

 
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

• A := {1,2,3, ... ,n}
• B := {pΠZ | p es par}

 
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
 

Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.

Si a Î A entonces {a} Îà(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).

Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

• Æ ' = U .
• U ' = Æ .
• (A')' = A .
• A Í B Û B' Í A' .
• Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

 
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES	UNION	INTERSECCION
1.- Idempotencia	A È A = A	A Ç A = A
2.- Conmutativa	A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa	A È ( B È C ) = ( A È B ) È C	A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción	A È ( A Ç B ) = A	A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva	A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad	A È A' = U	A Ç A' = Æ

 

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

• A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
• A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
• ( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).

 
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
 

A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica
 

A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )

Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B.
Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto
 

Proy_AG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}

Análogamente se define la proyección Proy_BG de G sobre B.

Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A_i , entonces se define el conjunto { A_i : i Î I }
y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A_i } _i Î I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( a_i ) _i Î I .

Dada una familia de conjuntos { A_i } _i Î I se definen:
 

• È _i ÎI A_i := { a : a Î A_i , $ i Î I }
• Ç _i Î I A_i := { a : a Î A_i , " i Î I }
• Õ _i Î I A_i := { (a_i) : a_i Î A_i , " i Î I }

 
Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
 

( È _i Î I A_i )' = Ç _i Î I A'_i     ,    (Ç_i Î I A_i )' = È_i Î I A'_i

AD Jaime Rodríguez

Análisis Dimensional        

      Una útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que está cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las matemáticas conocido como análisis dimensional - las ma­temáticas de las dimensiones de las cantidades.  Aunque se puede argumentar con éxito que la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos diferentes.

Les métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación deben ser las mismas.

La investigación adicional de este principio revelará que el mismo proporciona un me­dio de determinar las formas de las ecuaciones físicas, a partir del conocimiento de las variables principales y de sus dimensiones.  Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales produzcan soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de problemas que desafían la solucion analítica y que deben ser resueltos experimentalmente.  En este caso, el análisis dimensional entra en su propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir de un mínimo de experimentación.  Logra lo anterior por medio de la formación de grupos adimensionales, algunos de los cuales son idénticos con las relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.

 Para ilustrar los pasos matemáticos en un problema dimensional sencillo, considérese la familiar ecuación de la estática de fluidos,

                                p = γh

 pero supóngase que se conocen las dimensiones de γ y de h, y que las de p son desconocidas.  Las dimensones de p sóIo pueden ser alguna combinación de M, L, y T, y esta combinación puede descu­brirse escribiendo la ecuación dimensionalmente como

 (Dimensiones de p) = (Dimensiones de γ) * (Dimensiones de h) 0                        

 en la cual a, b, y c son desconocidas.  Al aplicarse el principio de la homogeneidad dimensional, el exponente de cada una, de las dimen­sienes fundamentales es el mismo en cada lado de la ecuación, lo que da

                

     a = 1,    b =-2+ 1 = -1,    c=-2

 (Dimensiones de p) = ML^-1T^-2 =   M/LT²

Es obvio, Por supuesto que este resultado podria haberse obtenido mas directamente por la cancelación de L en el miembro derecho de la ecuación, ya que este ha sido, y continuara siéndolo, el metodo mas usual de obtener las dimensiones desconocidas de una cantidad.                          

 Para ilustrar otro ejemplo familiar , supongase que se sabe que la potencia, p que se puede extraer de una turbina hidráulica dependedle regimen de flujo de la máquina Q, del peso especifico del fluido circulante, γ, y de la energía mecánica unitaria, E, que cada unidad de peso proporciona al pasar a través de la máquina.  Supóngase que es des­conocida la relación entre estas cuatro variables, pero se sabe que estás son las únicas variables implicadas.  Con este escaso conocimiento, se puede hacer la siguiente afirmación matemática:

                                              P = f(Q, γ, E)

 Es aparente por el principio de la homogeneidad dimensional que las cantidades implicadas no se pueden sumar o sustraer, ya que sus dimensiones son diferentes. Este principio limita la ecuación a una combinación de productos de las potencias de las cantidades impli­cadas, la que se puede expresar en la forma general

                                                P = C Q^a γ^b E^c

 En la cual C es una constante adirnensional que puede existir en la ecuación pero que, por supuesto, no se puede obtener por los métodos dimensíonales.  Escribiendo la ecuación en forma dimensional

                                       

se obtienen las siguientes ecuaciones en los exponentes de las dimensiones:

M:     1 = b         a= 1,     b = 1

L:       2=3a-2b+c

T:       -3=-a-2b

De donde.

         a=1          b=1        c=1

y la resustitucion de estos valores en la ecuación anterior de P, da

                                      P = CQγE

 La magnitud de C se puede obtener, ya sea a partir de un análisis físico del problema o a partir de mediciones experimentales de P, Q, γ, y E.

De los problemas anteriores parece que en el análisis dimensio­nal (de, problemas de mecánica) sólo se pueden escribir tres ecua­ciones, ya que sólo existen tres dimensiones fundamentales indepen­dientes: M, L y T. Este hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita la utili­dad del análisis dimensional para obtener la forma de los términos de la ecuación.