Análisis dimensional
El análisis dimensional es una
herramienta conceptual muy utilizada en la física, la química y la ingeniería
para ganar comprensión de fenómenos que involucran una combinación de
diferentes cantidades físicas. Es además, rutinariamente utilizada para
verificar relaciones y cálculos, así como para construir hipótesis razonables
sobre situaciones complejas, que puedan ser verificadas experimentalmente. Uno
de dichos usos está basado en el requerimiento de consistencia dimensional.
Este requerimiento está relacionado con la 2da Ley de Newton: cuando se
describen magnitudes mecánicas, el conjunto de magnitudes que se utilice puede
ser arbitrario; sin embargo existen dos tipos de sistemas de magnitudes, los
consistentes y los no consistentes. Se dirá que un sistema de magnitudes es
consistente si las magnitudes que lo define verifican la siguiente propiedad:
[F] = [M] [A] donde los corchetes indican la magnitud. Para que un sistema
pueda ser utilizado en la mecánica, este debe ser consistente. Los conceptos de
unidad y magnitud están relacionados pero no son lo mismo: en efecto, en la observación
de fenómenos, cada cantidad física Rh , tendrá asociada unidades {Rh} –que
indicaremos entre llaves– que representan cantidades de referencia de una magnitud,
aceptadas por convención. Así un kilogramo (kg) corresponde a una cantidad de
masa estándar y patrón o una pulgada (in) corresponde con una longitud patrón
que puede representarse por 2, 54 centímetros (cm), otra unidad patrón en otro
sistema de unidades. Así una cantidad física se representa, en un sistema de
unidades como Rh = v (Rh) {Rh}, donde v (Rh) es un número real que representa
el valor de dicha cantidad expresada en unidades {Rh}. Si se desea utilizar otro
sistema de unidades, debe disponerse de una relación del tipo Rˆ j = x −1 j Rh
que permita el cambio entre dichos sistemas. Así la misma cantidad física
resultara Rh = v (Rh) dj | {z} vˆ (Rh) {Rˆ j} = ˆv (Rh) {Rˆ j}, donde el factor
dj es el denominado factor de conversión. Los sistemas de magnitudes se
representan por símbolos. Por ejemplo, [MLTΘ] representan respectivamente masa,
longitud, tiempo y temperatura. Así, siguiendo el ejemplo, la velocidad tiene
asociada la magnitud [V]; sin embargo, considerando el sistema [M, L, T, Θ] es
posible escribir que [V]= [L]/ [T], resultando que hay algunas magnitudes
derivadas de otras, mediante una combinación de aquellos símbolos elevados a
alguna potencia. Definición 1 Sistema de magnitudes fundamentales Se llama
sistema de magnitudes fundamentales [F1, · · ·, Fm] al conjunto de menor
cantidad de elementos que permite derivar todas las magnitudes involucradas en
un fenómenos. El sistema [M, L, T, Θ] es
un sistema fundamental de magnitudes para la mecánica. En este sistema, la
fuerza tiene una magnitud derivada [M] [L]/ [T]2. Sin embargo, en virtud de la
ley de Newton, serıa posible definir un sistema [F, L, T, Θ] de magnitudes
fundamentales, en el cual la masa tendría una magnitud derivada [F] [T]2/ [L]. Así,
los sistemas de magnitudes fundamentales son arbitrarios, pesando sobre ellos
el único requerimiento de consistencia dimensional. Propiedad 1 Las magnitudes
que forman un sistema fundamental son independientes: Y i=1 F xi i = 1 ⇒
xi = 0, para i = 1, 2, · · ·, m.
El conjunto de los símbolos que definen un sistemas de magnitudes forman un grupo: en efecto, existe un elemento identidad, indicado por [1] y todo símbolo –por ejemplo L– tiene su inverso –en este caso, L−1. Además, todo sımbolo elevado a una potencia es miembro del grupo, con inverso Definicion 2 Sea un sistema de n magnitudes, representadas por su correspondiente sımbolo [Mj ], los que se pueden representar por un sistema de m magnitudes fundamentales [F1, · · · , Fm], m < n, segun Mj = F a1j 1 · · ·F amj m , para j = 1, · · · , n. La matriz A := a11 · · · a1n . . . . . . . . . am1 · · · aman se denomina matriz de dimensión A.
Dado un conjunto de magnitudes, estas pueden combinarse para
formar una nueva magnitud [Mλ1 1 · · ·Min n ] = Y i=1 F ai1λ1 i · · ·Y i=1 F afinan
i = Y i=1 F ai1λ1+···+afinan i Definición 3 Magnitud adimensional Una magnitud
construida por combinación de n magnitudes, representables en un sistema de m
magnitudes fundamentales se dice adimensional, si ai1λ1 + · · · + afinan = 0,
para i = 1, · · · , n o en forma equivalente, si A = 0, donde A ∈
R min es la matriz de dimensión.
Esta relación pone en evidencia que existe una relación 1 a 1 entre el espacio nulo de A y el conjunto de las combinaciones adimensionales de las magnitudes. Mas a un, si se considera una base del espacio nulo de A y se toman las correspondientes combinaciones adimensionales {π1, · · ·, πn−m} (m es el rango de A), entonces cualquier otra combinación adimensional podrá escribirse como π c1 1 · · · π con−m n−m, donde los exponentes {c1, · · ·, con−m} son únicos, y resultan ser los coeficientes del elemento del espacio nulo en la base elegida. {π1, · · ·, πn−m} es un conjunto máxima de las combinaciones adimensionales independientes. Ejemplo: Considérese el caso de una cuerda de longitud ` [L], vibrando con amplitud A [L]. La cuerda tiene una densidad lineal ρ [M/L] y se encuentra sometida a una tensión σ [M /L T2]. Se requiere una relación para la energía E especıfica [L2/T2] de la misma. Observando las magnitudes involucradas, se pueden formar dos combinaciones adimensionales, π1 = e A, and π2 = ` A. Combinando estas dos magnitudes adimensionales, resulta F (e A, ` A) = 0, donde F es una función implícita desconocida. En forma equivalente se puede expresar E = A ρ f (` A), donde f es otra función. Esta función desconocida indica que la solución es incompleta, pero esta técnica puso de manifiesto algo que en principio no es evidente: que la energía es proporcional a la tensión.
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