La tabla de verdad
de una proposición
compuesta P enumera
todas las posibles
combinaciones de los valores
de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.
Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las
proposiciones simples p1, p2 y
p3, entonces la tabla de verdad de P debera
recoger los siguientes valores de verdad. p1 p2 p3
V
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V
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V
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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V
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F
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F
|
F
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V
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V
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F
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V
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F
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F
|
F
|
V
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F
|
F
|
F
|
Conexión entre Proposiciones
Conjunción: Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos
conjunción de ambas
a la proposición
compuesta “p y q” y la notaremos
p ∧ q. Esta proposición será verdadera
únicamente en el caso de
que ambas proposiciones lo sean.
Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente
que si p y q son, ambas, verdaderas entonces
p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa. Por lo
tanto su tabla de verdad vendrá dada por:
p q
|
p ∧ q
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V V
|
V
|
V F
|
F
|
F V
|
F
|
F F
|
F
|
Obsérvese también que el
razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p ∧ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y
que si p ∧ q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.
Disyunción: Dadas dos proposiciones
cualesquiera p y q, llamaremos
disyunción de ambas
a la proposición
compuesta “p ´o q” y la notaremos
p ∨ q. Esta
proposición será verdadera
si al menos
una de las dos p ´o
q lo es.
De acuerdo con la definición
dada se sigue que si una de las dos, p o q, es verdad entonces p ∨ q es verdad
y que p ∨ q sera falsa, únicamente si ambas
lo son. Su tabla de verdad sera, por tanto,
p q
|
p ∨ q
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V V
|
V
|
V F
|
V
|
F V
|
V
|
F F
|
F
|
Al igual que en la conjunci´on, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si p ∨ q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p ∨ q es falsa, entonces ambas han de ser falsas. □
Proposición Condicional: A la proposición
“p” se le llama hipótesis,
antecedente, premisa o condición
suficiente y a la “q” tesis,
consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional.
Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo
verdad la hipótesis,
la conclusión es falsa
(no se debe
deducir una conclusión falsa de
una hipótesis verdadera). De acuerdo con esta definición
su tabla de verdad es:
p
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q
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p −→ q
|
V
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V
|
V
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V
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F
|
F
|
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
V
|
Obsérvese que si p −→ q es verdad
no puede deducirse
prácticamente nada sobre los valores de verdad
de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la
segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p −→ q es falso,
entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa.
Proposicio´n bicondicional: Dadas dos proposiciones
p y q, a la proposición
compuesta “p si y solo si q” se
le llama “proposici´on
bicondicional” y se nota por
p ←→ q
La interpretaci´on del enunciado es: p s´olo si q y p si q o lo que es igual si p, entonces q y si q, entonces p es decir, Por tanto, su tabla de verdad es: (p −→ q) ∧ (q −→ p)
p
|
q
|
p
|
−→
|
q
|
q
|
−→ p
|
p ←→ q
|
V
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V
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V
|
V
|
V
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|||
V
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F
|
F
|
V
|
F
|
|||
F
|
V
|
V
|
F
|
F
|
|||
F
|
F
|
V
|
V
|
V
|
|||
Luego la proposici´on bicondicional p ←→ q es verdadera u´nicamente en caso de que ambas proposiciones, p y q, tengan
los mismos valores de verdad.
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