TEORÍA DE CONJUNTOS
La palabra conjunto generalmente la asociamos
con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros,
de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño,
piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto
denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna
característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
La
característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir
que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.
Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el
3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas
obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas
puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos
que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras
de alfabeto; a, b, c,..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c,
..., x, y, z}
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los
elementos por ejemplo:
El conjunto
{b, b, b, d, d} simplemente será {b, d}.
Membresía:
Los
conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A= {a, c, b}
B= {primavera,
verano, otoño, invierno}
El símbolo Î indicará que un
elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar
que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con
una raya inclinada /quedando el símbolo como Ï.
Ejemplo:
Sea B= {a,
e, i, o, u}, a Î B
y c Ï B
Subconjunto:
Sean los
conjuntos A= {0, 1, 2, 3, 5, 8} y B= {1, 2, 5}
En este caso
decimos que B está contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos
conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento
de B lo es de A también.
Por lo tanto
si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se
indicará con una diagonal Ë.
Universo o conjunto universal:
El conjunto
que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el
nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se
estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S.
Por ejemplo
si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto
queda:
U= {1, 2, 3, 4, 5}
OPERACIONES CON CONJUNTOS
a) Unión
La unión de
dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B
y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de
ellos o a los dos. Lo que se denota por:
A È B
= {x/x Î A o x Î B}
b)
Intersección
Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12}
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: {2, 4, 8}.
A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente
se escribe así:
A Ç B = {x/x Î A
y x Î B}
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y
están en B.
c)
Conjunto Vacío
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto
vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ.
Por ejemplo:
Sean A= {2, 4, 6 y
B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
d)
Conjuntos Ajenos
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto
vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.
e)
Complemento
El complemento de un conjunto respecto al universo U es
el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se
representa por comprensión como:
A'= {x Î U/x y x Ï A}
f)
Diferencia
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se
denota por A-B y es el conjunto
de los elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:
A - B= {x/x Î A; X Ï B}
g)
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés
John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de
manera gráfica mediante dibujos o diagramas.
La manera de representar el conjunto Universal es un
rectángulo, o bien la hoja de papel con que se trabaje. Ejemplo:
No hay comentarios.:
Publicar un comentario