TDC Gerson Argueta

Teoría de Conjuntos

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

A

es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B

es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

C

es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.

D

es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Tipos de conjuntos

Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.

Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.

Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.

Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.

Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.

Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.

Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

Operaciones con conjuntos:

Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

Unión: (símbolo $\cup$ ) La unión de dos conjuntos $A$ y $B$ , que se representa como $A \cup B$ , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos $A$ y $B$ .
$A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}$ $A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}$
Intersección: (símbolo $\cap$ ) La intersección de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \cap B$ de los elementos comunes a A y B.
$A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}$ $A\cap B=\{x/x\in A\land x\in B\}$
Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto $A$ con $B$ es el conjunto $A \ B$ que resulta de eliminar de $A$ cualquier elemento que esté en $B$ .
Complemento: El complemento de un conjunto $A$ es el conjunto $A ∁$ que contiene todos los elementos que no pertenecen a $A$ , respecto a un conjunto $U$ que lo contiene.
$A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}$ $A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}$
Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A Δ B$ con todos los elementos que pertenecen, o bien a $A$ , o bien a $B$ , pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A \times B$ de todos los pares ordenados $(a, b)$ formados con un primer elemento $a$ perteneciente a $A$ , y un segundo elemento $b$ perteneciente a $B$ .