TDC Lowy Cruz

Teoría de Conjuntos

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. 
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A. 

 

Ejemplos de conjuntos: 
 

·         Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.

·         N: el conjunto de los números naturales.

·         Z: el conjunto de los números enteros.

·         Q : el conjunto de los números racionales.

·         R: el conjunto de los números reales.

·         C: el conjunto de los números complejos.

  
Se puede definir un conjunto:

·         por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

·         por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

  
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

·         A := {1,2,3, ... ,n}

·         B := {pΠZ | p es par}

  
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), 
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A; 
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A; 
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A). 

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

Operaciones con conjuntos

Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A U B que se lee «A unión B».

Ejemplo: En el diagrama de Venn, A U  B aparece rayado, o sea el área de A y el   área de B

La intersección

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B Se denota la intersección de A y B por A Π B

que se lee «A intersección B».

Ejemplo: En el diagrama de Venn se ha rayado A Π B, el área común a ambos con- juntos A y B.

 

Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A. pero no a B. Se denota la diferencia de A y B por A – B que se lee «A diferencia B» o simplemente «A menos B».

Ejemplo: En el diagrama de Venn se ha rayado A – B, el área no es parte de B.

Complemento

El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A,  es decir, la diferencia del conjunto universal U y del A. se denota el complemento de A por A.

Ejemplo: En el diagrama de Venn se ha rayado el complemento de A, o sea el área exterior a A. Se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo.

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