Conjuntos
En matemáticas, un conjunto es
una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números,
colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al
conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los
colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo,
Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse
mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los
números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el
conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido
únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede
escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o
añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles,
Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo,
Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil,
Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos
o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto
de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además,
los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las
operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto
primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de
nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera
informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto
fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de
objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio
detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de
conjuntos.
Clases de Conjuntos:
Conjunto
Universal
Con el ánimo de evitar confusiones,
cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los
elementos que lo conforman. Esto significa que debe existir una base de
la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra UU para representar el conjunto universal.
Si por ejemplo quieres definir BB como el conjunto conformado por las vocales ii y aa, el conjunto
universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura de la
izquierda se muestra como puedes usar los diagramas de Venn para representar la
relación entre el conjunto BB y su conjunto
universal UU.
Para representar dicho conjunto usamos el
reconocido símbolo del vacío, como se muestra en la imagen de la derecha.
También, haciendo uso de la descripción por extensión,
representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes
{}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos
ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.
Conjuntos
unitarios
El conjunto unitario se distingue por tener solo un
elemento. No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un
perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento
es llamado conjunto unitario.
Conjuntos
finitos
Este tipo de conjunto también se
distingue por la cantidad de elementos que posee. Un conjunto es finito si podemos contar la
cantidad de elementos que lo conforman.
Por
ejemplo, el conjunto de las letras del idioma castellano es finito porque en
total son 27 letras. En la imagen de la derecha se muestran otros
conjuntos finitos. Te puedes dar cuenta que los conjuntos unitarios
también son finitos.
No es fácil
encontrar en la naturaleza ejemplos de este tipo de conjuntos. Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no
les podemos contar la cantidad de elementos que los componen. El método
más fácil para representar este tipo de conjuntos es por comprensión.
Basta con mencionar las características que tienen en común los elementos del
conjunto y los estaremos determinando a todos. Considera el conjunto de
los números que terminan en tres, podríamos definirlo así: Sea T={x∣x es número y termina en tres}T={x∣x es número y termina en tres}.
También existe una manera de representar algunos
conjuntos infinitos por extensión.
Basta exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos
suspensivos que la lista continua indefinidamente. En el caso del
conjunto TT, definido en el párrafo anterior y conformado por los
números que terminan en tres, se tiene T={3, 13, 23, 33, 43, 53, ...}T={3, 13, 23, 33, 43, 53, ...}.
Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos
infinitos los encontramos en los números. ¿Cuántos números pares hay?
¿cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es
porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que
tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que
represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.
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