AD Ian Cardona

ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio

Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.

Fines del análisis dimensional

1.        El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.

2.        Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.

3.        Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Magnitudes y unidades

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.

Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.

Clasificación de las magnitudes

Por su origen	Por su naturaleza
a.        Fundamentales. b.        Derivadas.	a.        Escalares. b.        Vectoriales.

Magnitudes fundamentales:

Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
Magnitud	Símbolo	Unidad Básica (Símbolo)
Longitud.	L	Metro (m)
Masa.	M	Kilogramo (kg)
Tiempo.	T	Segundo (s)
Intensidad de corriente eléctrica.	I	Ampere o Amperio (A)
Intensidad Luminosa.	J	Candela (cd)
Temperatura Termodinámica.	q	Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia.	N	Mol (mol)

MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS
Nombre	Unidad Básica (Símbolo)
Ángulo Plano.	Radian (rad).
Ángulo Sólido.	Estereorradián (sr).

Magnitudes derivadas:

En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. 

Ejemplo: área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes escalares:

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.

Ejemplo: área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes vectoriales:

Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada.

Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.

Múltiplos y submúltiplos

MÚLTIPLOS		SUBMÚLTIPLOS
Nombre y Símbolo	Factor	Nombre y Símbolo	Factor
Yotta (Y)	10 24	Deci (d)	10 -1
Zeta (E)	10 21	Centi (c)	10 -2
Exa (E)	10 18	Mili (m)	10 -3
Peta (P)	10 15	Micro (m)	10 -6
Tera (T)	10 12	Nano (n)	10 -9
Giga (G)	10 9	Pico (p)	10 -12
Mega (M)	10 6	Femto (f)	10 -15
Kilo (k)	1000	Atto (a)	10 -18
Hecto (h)	100	Zepto (z)	10 -21
Deca (da)	10	Yocto (y)	10 -24

Ecuaciones dimensionales

Llamadas también "fórmulas dimensionales", son expresiones matemáticas que colocan a lasmagnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Notación:

A: se lee magnitud "A"; [A]: se lee Ecuación Dimensional de "A".

Propiedades de las ecuaciones dimensionales

1° Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier (P.H.).

El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación dimensional serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos hacer, es cambiar los signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD.

2° Términos Adimensionales:

Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como p) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de calculo, se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.

3° No se cumplen la suma y la resta algebraica.

4° Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como cocientes.

Fórmulas dimensionales (F.D.) más usuales en el S.I.

Magnitud Derivada	F.D.	Unidad	Tipo
Área o Superficie	L2	m2	E
Volumen o Capacidad	L3	m3	E
Velocidad lineal	LT-1	m/s	V
Aceleración lineal	LT-2	m/s2	V
Aceleración de la Gravedad	LT-2	m/s2	V
Fuerza, Peso, Tensión, Reacción	MLT-2	kg . m/s2 = Newton (N)	V
Torque o Momento	ML2T-2	N . m	V
Trabajo, Energía, Calor	ML2T-2	N . m = Joule (J)	E
Potencia	ML2T-3	Joule/s = Watt (W)	E
Densidad	ML-3	kg/m3	E
Peso específico	ML-2T-2	N/m3	E
Impulso, ímpetu, Impulsión	MLT-1	N . s	V
Cantidad de Movimiento	MLT-1	kg . m/s	V
Presión	ML-1T-2	N/m2 = Pascal (Pa)	E
Periodo	T	s	E
Frecuencia Angular	T-1	s-1 = Hertz (Hz)	E
Velocidad Angular	T-1	rad/s	V
Aceleración Angular	T-2	rad/s2	V
Caudal o Gasto	L3T-1	m3/s	E
Calor Latente específico	L2T-2	cal/g	E
Capacidad Calorífica	ML2T-2q-1	cal/°K	E
Calor Específico	L2T-2q-1	cal/g.°K	E
Carga Eléctrica	IT	A . s = Coulomb (C)	E
Potencial Eléctrico	ML2T-3I-1	J/C = Voltio (V)	E
Resistencia Eléctrica	ML2T-3I-2	V/A = Ohm (W)	E
Intensidad de Campo Eléctrico	MLT-3I-1	N/C	V
Capacidad Eléctrica	M-1L-2T4I2	C/V = Faradio (f)	E
Nota: E = escalar y V = vectorial